Hoe een functie te onderzoeken op continuïteit?




De studie van de functie van continuïteit op een punt wordt uitgevoerd volgens het reeds opgerolde routineschema, dat bestaat uit het controleren van drie continuïteitsvoorwaarden:

Voorbeeld 1

Onderzoek de functie op continuïteit. Bepaal de aard van de functie-einden, als deze bestaan. Voer de tekening uit.

Oplossing :

1) Een enkel punt raakt het zicht. waarin de functie niet is gedefinieerd.

2) Bereken eenzijdige limieten:

Eenzijdige limieten zijn eindig en gelijk.

Dus op het punt functie tolereert een verwijderbare opening.

Hoe ziet de grafiek van deze functie eruit?

Ik wil het vereenvoudigen en het lijkt de gebruikelijke parabool te zijn. MAAR de bronfunctie is niet gedefinieerd op daarom is de volgende reservering vereist:

Voer een tekening uit:

Antwoord : de functie is continu op de hele getallenlijn behalve het punt. waarin ze een verwijderbare opening tolereert.

De functie kan op een goede of niet erg goede manier worden gedefinieerd, maar op voorwaarde is dit niet vereist.

U zegt, een voorbeeld is gekunsteld? Helemaal niet. Tientallen keren ontmoet in de praktijk. Bijna alle taken van de site zijn afkomstig van echte onafhankelijke en controlewerkzaamheden.

Delen met je favoriete modules:

Voorbeeld 2

Onderzoek de functie op continuïteit. Bepaal de aard van de functie-einden, als deze bestaan. Voer de tekening uit.

Oplossing : om welke reden dan ook, studenten zijn bang en houden niet van functies met een module, hoewel er niets moeilijks in zit. We hebben dit soort dingen al een beetje besproken in de les Geometrische transformaties van grafieken . Aangezien de module niet-negatief is, wordt deze als volgt onthuld: waar alfa een uitdrukking is. In dit geval , en onze functie zou op de stuksgewijze manier moeten inloggen:

Maar de breuken van beide stukken moeten worden verminderd met . Reductie, zoals in het vorige voorbeeld, zal niet zonder gevolgen verlopen. Bronfunctie niet gedefinieerd op punt omdat de noemer naar nul gaat. Daarom moet het systeem de voorwaarde extra specificeren en de eerste ongelijkheid maak streng:

Nu over een ZEER NUTTIGE oplossing : voordat de taak op de trekking is voltooid, is het een voordeel om een ​​tekening te maken (ongeacht of deze voorwaarde al dan niet vereist is). Dit zal ten eerste helpen om de punten van continuïteit en discontinuïteitspunten onmiddellijk te zien, en ten tweede, het zal je 100% redden van fouten bij het vinden van eenzijdige limieten.

Maak de tekening. In overeenstemming met onze berekeningen, aan de linkerkant van het punt het is noodzakelijk om een ​​fragment van een parabool te tekenen (blauwe kleur), en aan de rechterkant - een stuk parabool (rode kleur), de functie is niet gedefinieerd op het punt zelf :

Neem bij twijfel enkele X-waarden, vervang ze in de functie (niet te vergeten dat de module een mogelijk minteken vernietigt) en het schema te controleren.


border=0


We onderzoeken de functie continuïteit analytisch:

1) De functie is niet gedefinieerd op het punt daarom kunnen we meteen zeggen dat het daarin niet continu is.

2) Stel de aard van de opening in, hiervoor berekenen we de eenzijdige limieten:

De eenzijdige limieten zijn eindig en verschillend, wat betekent dat de functie lijdt aan een discontinuïteit van de eerste soort met een sprong op het punt . Merk op dat het niet uitmaakt of de functie op het breekpunt is gedefinieerd of niet.

Het blijft nu over om de tekening uit de trekking over te dragen (het is gemaakt alsof met behulp van onderzoek ;-)) en voltooi de taak:

Antwoord : de functie is continu op de hele getallenlijn behalve het punt. waarin ze een sprong van de eerste soort lijdt met een sprong.

Soms is het nodig om aanvullend een discontinuïteitssprong aan te geven. Het wordt elementair berekend - de linkerlimiet moet van de rechterlimiet worden afgetrokken: dat wil zeggen, op het punt van discontinuïteit sprong onze functie 2 eenheden naar beneden (wat het minteken aangeeft).

Voorbeeld 3

Onderzoek de functie op continuïteit. Bepaal de aard van de functie-einden, als deze bestaan. Maak een tekening.

Dit is een voorbeeld voor een onafhankelijke beslissing, een voorbeeldoplossing aan het einde van de les.

Laten we ons wenden tot de meest populaire en gebruikelijke versie van de taak, wanneer de functie uit drie delen bestaat:

Voorbeeld 4

Onderzoek de functie op continuïteit en plot de functie

.

Oplossing : het is duidelijk dat alle drie de delen van de functie continu zijn op de corresponderende intervallen, dus het blijft over om slechts twee punten van de "verbinding" tussen de stukken te controleren. Eerst zullen we een concept op een concept uitvoeren, ik heb de constructietechniek in detail besproken in het eerste deel van het artikel. Het enige dat u nodig heeft om zorgvuldig onze specifieke punten te volgen: vanwege de ongelijkheid betekenis eigendom van hetero (groene stip), en op grond van ongelijkheid betekenis behoort tot de parabool (rode stip):

Nou, in principe is alles duidelijk =) Rest nog om een ​​beslissing te nemen. Voor elk van de twee "butt" -punten controleren we routinematig 3 continuïteitsvoorwaarden:



I) We onderzoeken een punt voor continuïteit.

1) - de functie is op dit punt gedefinieerd.

2) Vind eenzijdige limieten:


Eenzijdige limieten zijn eindig en verschillend, dus de functie lijdt een gat van de 1e soort met een sprong op het punt .

Laten we de discontinuïteitssprong berekenen als het verschil tussen de rechter- en linkerlimiet:
dat wil zeggen dat het schema één eenheid oprende.

II) We onderzoeken een punt voor continuïteit.

1) - de functie is op dit punt gedefinieerd.

2) Vind eenzijdige limieten:

- eenzijdige limieten zijn eindig en gelijk, wat betekent dat er een gemeenschappelijke limiet is.

3) - de limiet van de functie op het punt is gelijk aan de waarde van de gegeven functie op het gegeven punt.

Dus de functie continu op het punt per definitie de continuïteit van een functie op een bepaald moment.

In de laatste fase transfereren we de tekening naar een pure kopie, waarna we het laatste akkoord plaatsen:

Antwoord : de functie is continu op de hele getallenlijn, behalve het punt. waarin ze een sprong van de eerste soort lijdt met een sprong.

Is klaar.

Voorbeeld 5

Onderzoek de functie op continuïteit en plot deze .

Dit is een voorbeeld voor een onafhankelijke oplossing, een korte oplossing en een exemplarisch voorbeeld van de taak aan het einde van de les.

Men kan de indruk krijgen dat de functie op een gegeven moment noodzakelijkerwijs continu moet zijn, en op een ander punt moet er een gat zijn. In de praktijk is dit niet altijd het geval. Probeer de resterende voorbeelden niet te verwaarlozen - er zullen een aantal interessante en be>

Voorbeeld 6

Dana-functie . Onderzoek de functie over continuïteit op punten . Bouw een grafiek.

Oplossing : en voer opnieuw onmiddellijk een concept uit op een concept:

De eigenaardigheid van deze grafiek is die met de stuksgewijze functie wordt gegeven door de abscis-asvergelijking . Hier is dit gedeelte getraceerd in groen en in een notitieblok is het meestal dapper geïsoleerd met een eenvoudig potlood. En vergeet natuurlijk niet over onze schapen: de waarde verwijst naar de raaklijntak (rode stip) en de waarde eigendom van hetero .

Uit de tekening is alles duidelijk - de functie is continu op de hele numerieke lijn, het blijft een oplossing vormen die letterlijk na 3-4 vergelijkbare voorbeelden volledig tot wasdom komt:

I) We onderzoeken een punt voor continuïteit.

1) - de functie is op dit punt gedefinieerd.

2) Bereken eenzijdige limieten:

het betekent dat er een algemene limiet bestaat.

Het gebeurde hier een beetje grappig. Het is een feit dat ik veel materiaal over de limieten van de functie heb gemaakt en dat wilde ik verschillende keren doen, en verschillende keren was ik een simpele vraag vergeten. En dus, door een ongelooflijke wilsinspanning, dwong hij zichzelf nog steeds om geen gedachte te verliezen =) Hoogstwaarschijnlijk, sommige lezers, "theepotten", betwijfelen: wat is de limiet van een constante die gelijk is aan? De limiet van een constante is gelijk aan de constante zelf. In dit geval is de nullimiet zelf nul (limiet links).

Verder gaan:

3) - de limiet van de functie op het punt is gelijk aan de waarde van de gegeven functie op het gegeven punt.

Dus de functie continu op het punt per definitie de continuïteit van een functie op een bepaald moment.

II) We onderzoeken een punt voor continuïteit.

1) - de functie is op dit punt gedefinieerd.

2) Vind eenzijdige limieten:

En hier, in de rechterlimiet, is de limiet van de eenheid gelijk aan de eenheid zelf.

- er is een algemene limiet.

3) - de limiet van de functie op het punt is gelijk aan de waarde van de gegeven functie op het gegeven punt.

Dus de functie continu op het punt per definitie de continuïteit van een functie op een bepaald moment.

Zoals gewoonlijk dragen we na het onderzoek onze tekening over aan een pure kopie.

Antwoord : de functie is continu op de punten. .

Houd er rekening mee dat in deze toestand ons niets werd gevraagd over de studie van de hele functie voor continuïteit, en het wordt beschouwd als een goede wiskundige toon om een exact en duidelijk antwoord op de gestelde vraag te formuleren. Trouwens, als je door de conditie geen schema hoeft te maken, dan heb je het volste recht om het niet te bouwen (hoewel de leraar het kan forceren).

Een klein wiskundig "patroon" voor een onafhankelijke oplossing:

Voorbeeld 7

Dana-functie .

Onderzoek de functie over continuïteit op punten . Categoriseer eventuele onderbrekingspunten. Voer de tekening uit.

Probeer alle "woorden" correct uit te spreken =) En om een ​​grafiek nauwkeuriger te tekenen, nauwkeurigheid, het zal niet overal overbodig zijn ;-)

Zoals je je herinnert, raadde ik aan de tekening meteen uit te voeren, maar van tijd tot tijd zijn er voorbeelden, waarin je niet meteen weet hoe het schema eruit ziet. Daarom is het in sommige gevallen voordelig om eerst eenzijdige limieten te vinden en pas dan op basis van het onderzoek de aftakkingen weer te geven. In de twee laatste voorbeelden zullen we ook de techniek beheersen van het berekenen van enkele eenzijdige limieten:

Voorbeeld 8

Verken de continuïteitsfunctie en bouw het schematische diagram.

Oplossing : slechte punten liggen voor de hand: (converteert naar nul de noemer van de indicator) en (converteert naar nul de noemer van de hele fractie). Het is moeilijk te begrijpen hoe de grafiek van deze functie eruit ziet, wat betekent dat het beter is om eerst een studie uit te voeren:

I) We onderzoeken een punt voor continuïteit.

1) De functie is op dit moment nog niet gedefinieerd.

2) Vind eenzijdige limieten:

Besteed aandacht aan de typische methode voor het berekenen van de eenzijdige limiet : in de functie in plaats van "X" vervangen we . In de noemer van elke misdaad: "additief", "minus nul" doet er niet toe, en het blijkt "vier". Maar in de teller is een kleine thriller: eerst in de noemer van de indicator kill -1 en 1, resulterend in . Een eenheid gedeeld door een oneindig klein negatief getal is "minus oneindig", daarom: . En tot slot is de "twee" tot een oneindig groot negatief niveau nul: . Of, als nog meer: .

Bereken de rechterlimiet:

En hier - in plaats van "X" -substituut . In de noemer "additief" opnieuw maakt niet uit: . In de teller worden acties uitgevoerd die lijken op de vorige limiet: we vernietigen de tegenovergestelde getallen en verdelen de eenheid met een oneindig klein positief getal :

De rechterlimiet is oneindig, dus de functie heeft op het punt een discontinuïteit van de 2e soort .

II) We onderzoeken een punt voor continuïteit.

1) De functie is op dit moment nog niet gedefinieerd.

2) Bereken de linkerlimiet:

De methode is hetzelfde: substitueren in de functie in plaats van "X" . Er is niets interessants in de teller - een eindig positief getal wordt verkregen . En in de noemer openen we de haakjes, verwijderen we de "trojka" en speelt het "additief" de beslissende rol. .

Samengevat, een eindig positief getal gedeeld door een oneindig klein positief getal geeft "plus oneindig": .

De rechterlimiet is als een tweelingbroer, met als enige uitzondering dat een oneindig klein negatief getal in de noemer zweeft:

De eenzijdige limieten zijn oneindig, dus de functie lijdt op het punt een discontinuïteit van de 2e soort .

We hebben dus twee breekpunten en, uiteraard, drie takken van de grafiek. Voor elke tak is het raadzaam om een ​​puntvormige constructie uit te voeren, d.w.z. neem een ​​paar X-waarden en vervang ze door . чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Merk op dat de voorwaarde de mogelijkheid biedt om een schematische tekening te maken, en een dergelijke verwennerij is natuurlijk voor handmatig werk. Ik maak afbeeldingen met een programma, dus ik heb geen problemen, hier is een redelijk accuraat beeld:

Rechte lijnen zijn verticale asymptoten voor de grafiek van deze functie.

Antwoord : de functie is continu op de hele getallenlijn behalve de punten. waarin ze discontinuïteiten van de 2e soort tolereert.

Meer eenvoudige functie voor onafhankelijke beslissing:

Voorbeeld 9

Verken de continuïteitsfunctie en voer een schematische tekening uit.

Geschatte monsteroplossing aan het eind, die onopgemerkt kroop.

Tot snel!

Oplossingen en antwoorden:

Voorbeeld 3: Oplossing : converteer functie: . Gegeven de regel van openbaarmakingsmodule en het feit dat Laten we de functie in een stuksgewijze vorm herschrijven:

We onderzoeken de functie voor continuïteit.

1) De functie is niet gedefinieerd op het punt .

2) Bereken eenzijdige limieten:


De eenzijdige limieten zijn eindig en verschillend, wat betekent dat de functie lijdt aan een discontinuïteit van de eerste soort met een sprong op het punt . Voer een tekening uit:

Antwoord : de functie is continu op de hele getallenlijn behalve het punt. waarin ze een sprong van de eerste soort lijdt met een sprong. Sprong springen: (twee eenheden hoger).

Voorbeeld 5: Oplossing : elk van de drie delen van de functie is continu op zijn eigen interval.
I) We onderzoeken een punt voor continuïteit.
1) - de functie is op dit punt gedefinieerd.

2) Bereken eenzijdige limieten:


het betekent dat er een algemene limiet bestaat.
3) - de limiet van de functie op het punt is gelijk aan de waarde van de gegeven functie op het gegeven punt.
Dus de functie continu op het punt per definitie de continuïteit van een functie op een bepaald moment.
II) We onderzoeken een punt voor continuïteit.

1) - de functie is op dit punt gedefinieerd.

2) Vind eenzijdige limieten:


Eenzijdige limieten zijn eindig en verschillend, dus de functie lijdt een gat van de 1e soort met een sprong op het punt .
Sprong springen: (vijf eenheden naar beneden).
De tekening is te vinden in het eerste deel van het artikel.
Antwoord : de functie is continu op de hele getallenlijn, behalve het punt. waarin ze een sprong van de eerste soort lijdt met een sprong.

Voorbeeld 7: Oplossing :

I) We onderzoeken een punt voor continuïteit.

1) - de functie is op dit punt gedefinieerd.

2) Vind eenzijdige limieten:


De limiet aan de linkerkant is oneindig, dus de functie heeft op het punt een discontinuïteit van de 2e soort .
II) We onderzoeken een punt voor continuïteit.

1) - de functie is op dit punt gedefinieerd.

2) Vind eenzijdige limieten:


Eenzijdige limieten zijn eindig en verschillend, dus de functie lijdt een gat van de 1e soort met een sprong op het punt .
Voer een tekening uit:

Antwoord : op het punt de functie heeft op dat moment een opening van de 2e soort de functie lijdt aan een discontinuïteit van de eerste soort met een sprong.

Voorbeeld 9: Oplossing : onderzoek een punt voor continuïteit :

1) De functie is op dit moment nog niet gedefinieerd.

2) Bereken eenzijdige limieten:


De limiet aan de linkerkant is oneindig, dus de functie heeft op het punt een discontinuïteit van de 2e soort .
Voer een tekening uit:

Antwoord : de functie is continu op de hele getallenlijn behalve het punt. waarin ze een gat van de 2e soort lijdt.

Auteur: Emelin Alexander

Hogere wiskunde voor externe studenten en niet alleen >>>

(Ga naar de startpagina)

Hoe kan ik de auteur bedanken?

Hoe het domein van een functie te vinden?

Voorbeelden van oplossingen

Als ergens ergens niet iets is, dan is er ergens iets

We blijven de sectie "Functies en grafische afbeeldingen" bestuderen en het volgende station van onze reis is het gebied van definitie van de functie . Een actieve discussie over dit concept begon bij de allereerste les over functieplots , waar ik elementaire functies overwoog, en met name hun definitiedomeinen. Daarom beveel ik theepotten aan om te beginnen met de basis van het onderwerp, omdat ik niet opnieuw bij enkele basispunten stil zal staan.

Er wordt verondersteld dat de lezer het domein van definitie van de basisfuncties kent: lineaire, kwadratische, kubieke functie, polynomen, exponentieel, logaritme, sinus, cosinus. Ze zijn gedefinieerd op . Voor raaklijnen, arcsine, het zij zo, vergeef =) Meer zeldzame kaarten worden niet onmiddellijk onthouden.

Het domein van definitie is schijnbaar eenvoudig en er rijst een vanzelfsprekende vraag, waar gaat het artikel over? In deze les zal ik algemene taken bespreken voor het vinden van het domein van een functie. Bovendien zullen we ongelijkheden herhalen met één variabele , de vaardigheden van het oplossen die vereist zijn in andere problemen van hogere wiskunde. Het materiaal is trouwens allemaal van school, dus het is niet alleen nuttig voor studenten, maar ook voor studenten. Informatie pretendeert natuurlijk niet encyclopedisch te zijn, maar er zijn geen vergezochte "dode" voorbeelden, maar geroosterde kastanjes, die zijn ontleend aan echte praktische werken.

Laten we beginnen met een uitdrukkelijke snit in het onderwerp. Kort over het be> . Het domein is de reeks waarden van "X" waarvoor er waarden van "spelers" zijn. Overweeg een voorwaardelijk voorbeeld:

Het domein van deze functie is de vereniging van de hiaten:
(voor degenen die het vergeten zijn: - samenvoegpictogram). Met andere woorden, als u een waarde van "X" uit het interval neemt of van of van , dan zal er voor elke dergelijke "X" een waarde "spelen" zijn.

Grof gezegd, waar het domein is - er is een functiegrafiek. Maar het semi-interval en het "tse" punt is niet opgenomen in het domein van de definitie, dus de grafische afbeeldingen zijn er niet.

Ja, trouwens, als iets niet duidelijk is uit de terminologie en / of inhoud van de eerste paragrafen, is het beter om terug te gaan naar het artikel Grafieken en eigenschappen van elementaire functies .

Hoe het domein van een functie te vinden? Veel mensen herinneren zich het tellen van de kinderen: "steen, schaar, papier," en in dit geval kan het gemakkelijk opnieuw worden geformuleerd: "wortel, breuk en logaritme." Dus, als je een breuk, een wortel of een logaritme op je levenspad vindt, dan zou je meteen heel, heel erg op je hoede moeten zijn! Tangens, cotangent, arcsine en arc-cosinus komen veel minder vaak voor, en we zullen er ook over praten. Maar eerst schetsen uit het leven van mieren:





; Datum toegevoegd: 2015-07-21 ; ; Weergaven: 47204 ; Maakt het gepubliceerde materiaal inbreuk op het auteursrecht? | | Bescherming van persoonlijke gegevens BESTEL WERK


Heeft u niet gevonden waarnaar u op zoek was? Gebruik de zoekopdracht:

De beste uitspraken: aan het eind van een college krijgt alleen een droom een ​​student. En iemand anders snurkt hem weg. 7950 - | 6839 - of lees alles ...

Zie ook:

border=0
2019 @ bgvarna.site

Генерация страницы за: 0.02 сек.